April 10, 2019

Bab 1 BENTUK PANGKAT,  AKAR DAN LOGARITMA a. Bentuk Pangkat 1). Jika n bilangan bulat positif dan a bilangan real maka a pangkat n didefin...

SEMESTER 1

Bab 1 BENTUK PANGKAT,  AKAR DAN LOGARITMA
a. Bentuk Pangkat
1). Jika n bilangan bulat positif dan a bilangan real maka a pangkat n didefinisikan sebagai berikut :
     
      Pengertian pangkat tersebut diperluas, yaitu untuk      berlaku :
     
     
2). Sifat-sifat pengerjaan hitung bilangan berpangkat
     
     
     
     
     

b. Bentuk Akar
1). Jika a dan b bilangan real serta n bilangan bulat positif, maka :
     
     
2). Sifat-sifat bentuk akar.
     
     
     
     
     
     
3). Merasionalkan penyebut pecahan bentuk akar
     
   
                           

c. Logaritma
1). Jika a dan b bilangan positif dengan     maka berlaku :
     
      Dari hubungan tersebut, diperoleh :
     
     
     
1
2). Sifat-sifat logaritma
     
     
     
     
     






















2

Bab 2 PERSAMAAN, PERTIDAKSAMAAN, DAN FUNGSI KUADRAT
A.      Persamaan Kuadrat
Persamaan kuadrat dalam x mempunyai bentuk umum:
ax2 + bx + c = 0 , a ¹ 0                   a, b dan c adalah bilangan real.

1. Menyelesaikan Persamaan kuadrat
Persamaan kuadrat dapat diselesaikan dengan beberapa cara, yaitu dengan:
a)       memfaktorkan,
b)       melengkapkan kuadrat sempurna,
c)       menggunakan rumus.
a. Menyelesaikan persamaan kuadrat dengan memfaktorkan
ax2 + bx + c = 0   dapat dinyatakan menjadi a (x – x1) (x – x2) = 0.
Nilai x1 dan x2 disebut akar-akar (penyelesaian) persamaan kuadrat.
Contoh  :
Selesaikan x2 – 4 x + 3 = 0
Jawab:    x2 – 4 x + 3 = 0
(x – 3) (x – 1) = 0
x – 3 = 0   atau    x – 1 = 0
x = 3   atau    x = 1
Jadi, penyelesaian dari x2 – 4 x + 3 = 0 adalah 3 dan 1.
b. Menyelesaikan persamaan kuadrat dengan melengkapkan kuadrat sempurna
Persamaan kuadrat  ax2 + bx + c = 0   dapat diselesaikan dengan mengubahnya menjadi (x + p)2 = q.
Contoh :
Tentukan himpunan penyelesaian dari x2 – 6 x + 5 = 0.
Jawab:   x2 – 6 x + 5 = 0





3
x2 – 6 x + 9 – 4 = 0
x2 – 6 x + 9 = 4
(x – 3)2 = 4
x – 3 = 2  atau x – 3 = –2
x = 5    atau     x = 1
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah{ 1 , 5}.
c. Menyelesaikan persamaan kuadrat dengan menggunakan rumus
Rumus penyelesaian persamaan kuadrat a x2 + b x + c = 0 adalah
Contoh :
Tentukan himpunan penyelesaian dari x2 + 7x – 30 = 0.
Jawab:   x2 + 7x – 30 = 0
a = 1  ,  b = 7  ,  c = – 30
x = 3   atau   x = –10
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {–10 , 3}.

2.      Jenis-jenis Akar Persamaan Kuadrat
Kita perhatikan kembali persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0  dengan akar-akarnya  ,  b2 – 4ac disebut diskriminan (D). Sehingga rumus penyelesaian persamaan kuadrat dapat ditulis sebagai  .
Dari rumus tersebut tampak bahwa nilai  x tergantung dari nilai  D.
Apabila:
D > 0  maka  ÖD  merupakan bilangan real positif, sehingga persamaan kuadrat mempunyai dua akar real berlainan,       .
D = 0  maka  ÖD = 0, sehingga persamaan kuadrat mempunyai dua akar real sama.                .
D < 0  maka  ÖD  merupakan bilangan tidak real (imajiner), maka persamaan kuadrat tidak mempunyai
akar real atau persamaan kuadrat mempunyai akar tidak real.
Contoh :
Tanpa menyelesaikan persamaan lebih dahulu, tentukan jenis-jenis akar persamaan kuadrat berikut:
x2 + 5 x + 2 = 0
x2 – 10 x + 25 = 0
3 x2 – 4 x + 2 = 0
Jawab :
x2 + 5 x + 2 = 0
4
a = 1  ,  b = 5  ,  c = 2
D = b2 – 4ac = 52 – 4 . 1 . 2 = 25 – 8 = 17
Ternyata  D > 0. Jadi, persamaan x2 + 5 x + 2 = 0  mempunyai dua akar real berlainan.
x2 – 10 x + 25 = 0
a = 1  , b = -10  ,  c = 25
D = b2 – 4ac = (-10)2 – 4 . 1 . 25 = 100 – 100 = 0
Karena  D = 0, maka persamaan x2 – 10 x + 25 = 0  mempunyai dua akar real sama.
3 x2 – 4 x + 2 = 0
a = 3  ,  b = –4  ,  c = 2
D = b2 – 4ac = (-4)2 – 4 . 3 . 2 = 16 – 24 = – 8
Ternyata bahwa  D < 0. Jadi, persamaan  3 x2 – 4 x + 2 = 0  tidak mempunyai akar real.

3.      Jumlah dan hasilkali akar-akar persamaan kuadrat
Persamaan kuadrat   ax2 + bx + c = 0 mempunyai akar x1 dan x2.
ax2 + bx + c = 0
x2 + x + = 0
Contoh:
Akar-akar x2 – 3x + 4 = 0 adalah x1 dan x2. Dengan tanpa menyelesaikan persamaan tersebut, hitunglah nilai:
x1 + x2 d.
x1.x2 e.   x13 + x23
x12 + x22
Jawab:          x2 – 3 x + 4 = 0  ®  a = 1  ,  b = –3  , c = 4
a.   x1 + x2 = 3
b.   x1.x2 = 4
c.   x12 + x22 = x12 + x22 +  2 x1.x2 – 2 x1.x2
= (x1 + x2)2 – 2 x1 x2 = 2 (-3)2 – 2 . 4 = 1
e. (x1 + x2)3 = x13 + 3 x12 x2 + 3 x1 x22 + x23
= x13 + 3 x1 x2 (x1 +  x2) + x23
x13 + x23 = (x1 + x2)3 – 3 x1 x2 (x1 + x2)
= 33 – 3 . 4 (3)
= 27 – 36 = –9

5
Bab 3 SISTEM PERSAMAAN LINEAR DAN KUADRAT

Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV)
→ mengandung 2 variabel berpangkat 1
Bentuk umum:

dimana a1, a2, b1, b2, c1, dan c2 adalah bilangan real
Catatan:

Penyelesaian:
Metode grafik
Metode substitusi
Metode eliminasi
Metode gabungan substitusi-eliminasi
Contoh:

Metode grafik:
→ gambar grafik untuk tiap persamaan, cara paling mudah: masukkan x = 0, hitung nilai y untuk mendapatkan titik pertama; lalu masukkan y = 0, hitung nilai x untuk mendapatkan titik kedua
→ jika saat dimasukkan x = 0, didapatkan nilai y = 0, untuk mendapatkan titik kedua masukkan nilai x selain 0

6

Metode substitusi:
Dari persamaan 1: 2x – y = 8 → 2x – 8 = y
Masukkan ke persamaan 2:
x + 2y = 14
x + 2.(2x – 8 ) = 14
x + 4x – 16 = 14
5x = 14 + 16
5x = 30
x = 30/5 = 6
y = 2x – 8 = 2.6 – 8 = 12 – 8 = 4
Jadi penyelesaiannya: {(6, 4)}
Metode eliminasi:
Eliminasi x: (Persamaan 2 dikali 2)
2x –   y = 8
2x + 4y = 28  –  (dikurangi karena nilai x-nya sama-sama positif)
–5y = –20
y = –20/–5 = 4
Eliminasi y: (Persamaan 1 dikali 2)
4x – 2y = 16
  x + 2y = 14   +  (ditambah karena nilai y-nya positif dan negatif)
5x = 30
x = 30/5 = 6
Jadi penyelesaiannya: {(6, 4)}
Metode gabungan (eliminasi-substitusi)
Eliminasi x: (Persamaan 2 dikali 2)
2x –   y = 8
2x + 4y = 28  –  (dikurangi karena nilai x-nya sama-sama positif)
–5y = –20
y = –20/–5 = 4
Masukkan ke salah satu persamaan, misalnya persamaan 1:
2x – y = 8
2x – 4 = 8
2x = 8 + 4
2x = 12
x = 12/2 = 6
Jadi penyelesaiannya: {(6, 4)}
Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV)
                                                                                        7
Bentuk umum:

dimana a1, a2, a3, b1, b2, b3, c1, c2, c3, d1, d2 dan d3 adalah bilangan real
Penyelesaian:
→ Eliminasi salah satu variabel dari sistem sehingga mernjadi SPLDV (misal: dari persamaan 1 dan 2 eliminasi x, persamaan 1 dan 3 atau 2 dan 3 juga eliminasi x)
Contoh:

Eliminasi z dari persamaan 1 dan 2 (persamaan 1 dikali 2):
2x + 2y + 2z = 12
2x + 3y – 2z =   2  (+)
4x + 5y = 14 …… Persamaan 4
Eliminasi z dari persamaan 1 dan 3:
x +   y + z = 6
3x – 2y + z = 2   (–)
–2x + 3y = 4 …… Persamaan 5
Eliminasi x dari persamaan 4 dan 5 (persamaan 5 dikali 2):
4x + 5y = 14
–4x + 6y =   8   (+)
11y = 22
y = 22/11 = 2
Masukkan y ke persamaan 5:
–2x + 3y = 4
–2x + 3.2 = 4
–2x + 6 = 4
–2x = 4 – 6
–2x = –2
x = –2/–2 = 1
Masukkan x dan y ke persamaan 1:
x + y + z = 6
1 + 2 + z = 6
z = 6 – 1 – 2 = 3
Jadi penyelesaiannya: {(1, 2, 3)}
Sistem Persamaan Linear Kuadrat Dua Variabel (SPLKDV)
Bentuk Umum:
8

Penyelesaian:
→ Substitusi persamaan 1 ke 2 diperoleh:
mx + n = ax2 + bx + c
ax2 + (b –m)x + (c – n) = 0
Nilai diskriminannya: D = b2 – 4.a.c = (b – m)2 – 4.a.(c – n)
D > 0 → SPLKV mempunyai 2 akar (penyelesaian) nyata
D = 0 → SPLKV mempunyai 1 akar (penyelesaian) nyata
D < 0 → SPLKV tidak mempunyai akar (penyelesaian) nyata
→ Dapat juga diselesaikan dengan grafik
Contoh:

Substitusi persamaan 1 ke 2
2 – x = x2
x2 + x – 2 = 0
(x + 2).(x – 1) = 0
x + 2 = 0 atau x – 1 = 0
x = –2 atau x = 1
untuk x = –2 → y = 2 – (–2) = 2 + 2 = 4 (nilai x juga dapat dimasukkan ke persamaan 2)
untuk x = 1 → y = 2 – 1 = 1
Jadi penyelesaiannya: {(–2, 4), (1, 1)}
Grafik:
→ cara menggambar grafik fungsi kuadrat: lihat di bab FUNGSI KUADRAT
→ cara menggambar garis: lihat di bagian SPLDV
Sistem Persamaan Kuadrat (SPK)
Bentuk umum:


9

Penyelesaian:
→ Jika persamaan 1 = persamaan 2, maka SPK mempunyai banyak penyelesaian
→ Jika persamaan 1 ≠ persamaan 2, maka substitusi persamaan 1 ke 2, sehingga diperoleh:
ax2 + bx + c = px2 + qx + r

(a – p)x2 + (b – q)x + (c – r) = 0

Hitung nilai Diskriminan: D = (b – q)2 – 4.(a – p).(c – r)
D > 0 → SPK mempunyai 2 akar (penyelesaian) real
D = 0 → SPK mempunyai 1 akar (penyelesaian) real
D < 0 → SPK tidak mempunyai akar (penyelesaian) real
→ dapat juga diselesaikan dengan cara grafik
Contoh:

Substitusi persamaan1 ke 2:
x2 – 2x – 3 = –x2 – 2x – 5
x2 – 2x – 3 + x2 + 2x + 5 = 0
2x2 + 2 = 0
Semua dibagi 2:
x2 + 1 = 0
Karena persamaan tidak dapat difaktorkan, hitung nilai D:
D = b2 – 4.a.c = 02 – 4.1.1 = a – 4
Karena D < 0 maka SPK tidak mempunya penyelesaian real
Grafik: